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| De: ☼TäRA☼ (Mensaje original) |
Enviado: 06/06/2010 17:37 |
Muchas veces nos pasa desapercibido, pero convivimos contínuamente con la simetría ...
La simetría es la constancia, la repetición de algo en el espacio y/o en el tiempo, como muestran los ejemplos de abajo: grecas, pétalos de una flor, la sucesión de noche y dia, una pieza musical, etc.
| Simetría por repetición de motivos en una greca o en los pétalos de las flores |
| Simetría por repetición de eventos: Noche - Día - Noche ... |
Simetría en una pieza musical. Fragmento de "Six unisono melodies" de Bartók.
(El pentagrama de abajo representa la simetrización de la partitura de arriba) |
Esta frase, probablemente conocida por muchos lectores, nos sirve también para ilustrar el concepto de simetría:
| Dábale arroz a la zorra el Abad |
en donde si olvidamos los acentos y nos quedamos sólo con las letras, se convierte en:
| D A B A L E A R R O Z A L A Z O R R A E L A B A D |
que se puede leer de derecha a izquierda con el mismo significado que más arriba. Es un caso parecido al de los números "capicúa" (232 ó 679976).
Existen muchas direcciones en donde el lector puede encontrar información sobre el concepto de simetría, de las cuales hemos seleccionado algunas: simetría y forma del espacio, incluída en conceptos cristalográficos, con modelos decorativos, en los minerales, e incluso existe una sociedad internacional para el estudio de la simetría.
Concretándonos a los objetos, existen varias operaciones (elementos de simetría) que describen las repeticiones. En las grecas nos encontramos con operaciones de traslación (el motivo se repite por traslación). La repetición de los pétalos de las flores nos conduce a operaciones de giro (el motivo se repite por giro) alrededor de ejes de simetría y, aunque no exactamente, la simetría que nos muestra la partitura o la frase sobre el Abad nos llevaría a considerar las operaciones denominadas planos de simetría (la operación que ocurre cuando uno se mira en un espejo). Análogamente, por ejemplo, si nos fijamos en la relación entre los objetos tridimensionales de la figura de abajo, descubriremos un nuevo elemento de simetría denominado centro de simetría, que sería el punto imaginario colocado entre ambos objetos:
Dos objetos relacionados por un centro de simetría. |
Combinando estos elementos de simetría con las traslaciones características de un cristal (que veremos más abajo), surgen nuevos elementos de simetría con componentes de deslizamiento (ejes helicoidales y planos de deslizamiento).
Poliedro mostrando un eje de rotación binario que pasa por los centros de las aristas de arriba y abajo |
Poliedro mostrando un plano de simetría que relaciona la parte de arriba con la de abajo
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Los elementos de simetría del tipo centro y plano, relacionan de un modo peculiar los motivos que repiten, el mismo modo que relaciona entre sí nuestras manos, que no son superponibles. Los motivos que no contienen en sí mismos ninguno de estos elementos de simetría (centro o plano) se denominan quirales y su repetición mediante estos elementos de simetría (centro o plano) genera objetos que se denominan enantiómeros respecto de los originales (la imagen especular de una de nuestras manos es enantiómera de la que ponemos delante del espejo).
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La imagen especular de cualquiera de nuestras manos es el enantiómero de la otra mano. Son objetos no superponibles y al no contener en sí mismas ni centros ni planos de simetría se denominan objetos quirales. |
La asociación de elementos de rotación con centros o planos de simetría genera nuevos elementos de simetría llamados rotaciones impropias.
Poliedro que muestra únicamente un centro de simetría en su punto medio
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Eje de rotación impropia, en sentido vertical, en un cristal de urea (sobre las tríadas de índices que aparecen en la figura se hablará más adelante)
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Para poder seguir hablando de la simetría, es necesario en este momento recordar un concepto fundamental relacionado con la repetición por traslación.
La repetición periódica por la que se describe la estructura interna de los cristales viene representada por un conjunto de traslaciones en las tres direcciones del espacio, de tal forma que el cristal puede considerarse como una apilamiento, en tres dimensiones, de bloques idénticos. Cada bloque, de una forma y tamaño determinados, se denomina celdilla unidad. Su tamaño viene determinado por la longitud de sus tres aristas (a, b, c) y la forma por el valor de los ángulos entre dichas aristas (alpha, beta, gamma: a, b, g).
Apilamiento de celdillas formando un cristal octaédrico |
Parámetros que caracterizan la forma y tamaño de una celdilla elemental (ó celdilla unidad) |
En los cristales, los ejes de simetría sólo pueden ser binarios (2), ternarios (3), cuaternarios (4) ó senarios (6), dependiendo del número de repeticiones que se produzcan del motivo (orden de la rotación). Así, un eje de orden 3 (ternario) produce 3 repeticiones del motivo, una cada 360/3=120 grados de giro.
Las rotaciones impropias se designan con el número de orden de la rotación, con una barra encima del número.
Los ejes helicoidales se representan con el número de orden de la rotación, con un subíndice añadido que cuantifica el deslizamiento a lo largo del eje. Así, un eje helicoidal del tipo 62 representa que en cada una de las 6 rotaciones, la traslación asociada es de 2/6 de la periodicidad en la dirección del eje de la celdilla elemental.
Los planos de simetría se representan por la letra m.
Los planos de deslizamiento se representan por las letras a, b, c, n ó d, dependiendo de que la traslación asociada a la reflexión sea paralela a las traslaciones reticulares (a,b,c) o a una diagonal de un plano reticular (n) ó a una diagonal de la celdilla elemental (d).
Las letras o números que representan a los elementos de simetría tienen también una equivalencia con determinados símbolos gráficos.
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Primer
Anterior
2 a 2 de 2
Siguiente
Último
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De: ☼TäRA☼ |
Enviado: 06/06/2010 17:38 |
El conjunto de elementos de simetría de un objeto finito, que pasan por un punto, definen la simetría total del objeto y se denominan grupo puntual de simetría.Grupos puntuales hay muchos, pero en los cristales han de ser compatibles con la periodicidad (repetitividad por traslación) que los describe internamente. Así, en los cristales no son posibles las rotaciones (ejes de simetría) de orden 5 (un objeto que se repita a sí mismo, mediante giro, 5 veces). Con todo ello, en los cristales nos encontramos con sólo 32 posibles grupos puntuales que se denominan clases cristalinas.
El motivo constituído por un simple ladrillo, que puede representarse por un punto reticular, contiene la simetría puntual 2mm |
De las 32 clases cristalinas, sólo 11 contienen al operador centro de simetría y a éstas clases cristalinas centrosimétricas se les conoce con el nombre de grupos de Laue.
A su vez, en los cristales, las formas de repetición por traslación tienen que ser compatibles con la simetría puntual (las 32 clases cristalinas), de modo que sólo nos encontramos con 14 tipos de redes de traslación que son compatibles con las clases cristalinas. A estos tipos de redes (modos de repetición por traslación) de los cristales se les llama también redes de Bravais (las puedes ver aqui). La simetría traslacional de una distribución ordenada de objetos en 3 dimensiones se puede describir mediante muchos tipos de redes, pero hay una que se adecúa más al objeto, es decir, que describe mejor, a la vez, la simetría propia del objeto. Y es que, como las redes a su vez tienen su propia distribución de elementos de simetría, hay que adecuar éstos a los de la estructura.
 Una pared de ladrillos puede estructurarse con diferentes tipos de redes, pasando por diferentes orígenes, definiendo puntos reticulares que representan todo el ladrillo. Pero hay una que es más adecuada a la simetría del ladrillo y a la disposición de éstos al formar la pared. |
La adecuación de una red a una estructura se muestra en los ejemplos bidimensionales inferiores, en donde en los tres casos hay dos redes, una primitiva oblícua y otra rectangular centrada. En los dos primeros casos, la red rectangular resulta la más adecuada, mientras que la deformación de la estructura alcanza, en el tercer ejemplo, unas relaciones métricas que hacen que la red más adecuada sea la primitiva oblícua, hexagonal en este caso.
Adecuación del tipo de red a la estructura. La red azul es la más adecuada en cada caso. |
Por último, al combinar los grupos puntuales de los cristales (las 32 clases cristalinas) con las 14 redes de Bravais, nos encontramos con 230 maneras posibles de repetir un objeto finito (motivo) en el espacio de 3 dimensiones. A estos 230 modos de repetición de motivos en el espacio, que son compatibles con las clases cristalinas y con las redes de Bravais, se les denomina grupos espaciales, que representan las diferentes formas de adecuar la redes de Bravais con la simetría de las estructuras.
| 32 clases cristalinas + 14 redes de Bravais = 230 grupos espaciales |
Representación de la red de la pared de ladrillos, más acorde con el motivo (ladrillo) y sus elementos de simetría. Nótese que, en este caso, la simetría puntual del ladrillo y la puntual del nudo de red coinciden. El grupo espacial, si consideramos el espesor del ladrillo, es Cmm2. |
Estas 32 clases, 14 redes y 230 grupos espaciales pueden clasificarse, según la simetría mínima que albergan, en 7 sistemas cristalinos. La simetría mínima produce restricciones en los valores métricos (distancias y ángulos) que describen la forma y el tamaño de la red.
| 32 clases, 14 redes, 230 grupos espaciales / simetría mínima = 7 sistemas cristalinos |
Todo ello se resume en el siguiente esquema (los subrrayados deberían ser sobrerrayados):
Clases cristalinas
(Laue con *) |
Redes cristalinas compatibles y
su simetría |
Número de
grupos espaciales |
Simetría mínima |
Restricción métrica |
Sistema cristalino |
| 1 1* |
P
1 |
2 |
1 ó 1 |
ninguna |
Triclínico |
| 2 m 2/m* |
P C (I)
2/m |
13 |
Un 2 ó 2 |
a=g=90 |
Monoclínico |
| 222 2mm mmm* |
P C (A,B) I F
mmm |
59 |
Tres 2 ó 2 |
a=b=g=90 |
Ortorrómbico |
4 4 4/m*
4mm 4222 42m 4/mmm* |
P I
4/mmm |
68 |
Un 4 ó 4 |
a=b
a=b=g=90 |
Tetragonal |
23 m3*
432 43m m3m* |
P I F
m3m |
36 |
Cuatro 3
ó 3 |
a=b=c
a=b=g=90 |
Cúbico |
6 6 6m*
6mm 622 62m 6/mmm* |
P
6/mmm |
27 |
Un 6 ó 6 |
a=b
a=b=90 g=120 |
Hexagonal |
3 3*
3m 32 3m* |
P 3m
(R) 6/mmm |
25 |
Un 3 ó 3 |
a=b=c
a=b=g
(o Hexagonal) |
Trigonal |
| Total: 32, 11* |
14 independientes |
230 |
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7 |
Los 230 grupos espaciales vienen recogidos y descritos en las International Tables for X-ray Crystallography, en donde se encuentran clasificados según los grupos puntuales y los sistemas cristalinos. Una composición de parte de la información contenida en estas Tablas se muestra a continuación para el grupo espacial Cmm2, en el que la C significa que la estructura se describe con una red centrada en las caras separadas por el eje c, la primera m representa un plano de simetría perpendicular al eje a, la segunda al eje b, y el 2 se refiere al eje binario paralelo al eje c.
Resumen de la información de International Tables for X-ray Crystallography
para el grupo espacial Cmm2 |
El lector avanzado puede consultar el llamado servidor cristalográfico de Bilbao, que es una excelente herramienta de ayuda para el manejo de la simetría en Cristalografía.
Un cristalógrafo nunca se aburre!. Trata de disfrutar de todo esto buscando la simetría de los objetos que encuentres a tu alrededor y en particular en estos ejemplos de más abajo.
Ejemplos de estructuras con ladrillos |
En cualquier caso, esto no acaba aquí y hay muchas más cosas que contar ...
http://www.xtal.iqfr.csic.es/Cristalografia/parte_03.html |
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